tentukan proyeksi vektor a pada b jika diketahui : a.) a=2i+k dan b=3i+4j b.) a=( 4 -1 -2 ) dan b=( 2 3 1 )

Proyeksi vektor a pada b dengan [tex] \vec{ a} = 2 \hat{ i} + \hat{ k} [/tex] dan [tex] \vec{ b} = 3 \hat{ i} + 4 \hat{ j} [/tex] adalah [tex] \frac{ 18}{ 25} \hat{ i} + \frac{ 24}{ 25} \hat{ j} [/tex].

Proyeksi vektor a pada b dengan [tex] \vec{ a} = \left( \begin{matrix} 4\\ -1\\ -2 \end{matrix} \right) [/tex] dan [tex] \vec{ b} = \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) [/tex] adalah [tex] \left( \begin{matrix} \frac{ 3}{ 7}\\ \frac{ 9}{ 14}\\ \frac{ 3}{ 14} \end{matrix} \right) [/tex]

Penjelasan dengan Langkah-Langkah

Vektor dalam matematika adalah ruas garis berarah yang memiliki nilai. Contoh vektor adalah percepatan dan kecepatan.

Beberapa jenis vektor yaitu:

• Vektor nol: tidak memiliki nilai dan arah.
• Vektor posisi: memiliki titik awal di pusat O(0, 0).
• Vektor basis: arahnya searah dengan sumbu koordinat.
• Vektor satuan: memiliki panjang satu satuan.

Apabila terdapat vektor a, b, dan c, maka:

Proyeksi skalar a pada b:

[tex] \boxed{ |\vec{ c}| = \frac{ \vec{ a} \cdot \vec{ b}}{ |\vec{ b}|}} [/tex]

Proyeksi vektor a pada b:

[tex] \boxed{ \vec{ c} = \left( \frac{ \vec{ a} \cdot \vec{ b}}{| \vec{ b}|^{ 2}} \right) \vec{ b}} [/tex]

Dari penjelasan tersebut, mari kita selesaikan permasalahan di atas!

a) Diketahui:

• [tex] \vec{ a} = 2 \hat{ i} + \hat{ k} [/tex]
• [tex] \vec{ b} = 3 \hat{ i} + 4 \hat{ j} [/tex]

Ditanyakan:

Proyeksi vektor a pada b.

Jawab:

[tex] \begin{aligned} \vec{c} &= \left( \frac{ \vec{ a} \cdot \vec{ b}}{| \vec{ b}|^{ 2}} \right) \vec{ b}\\ &= \left( \frac{ 2( 3)+ 0( 4)+ 1( 0)}{ (\sqrt{ 3^2 + 4^2 + 0^2} )^2 } \right) (3 \hat{ i} + 4 \hat{ j})\\ &= \left( \frac{ 6 + 0 + 0}{ 9 + 16 + 0} \right) (3 \hat{ i} + 4 \hat{ j})\\ &= \left( \frac{6}{25} \right) (3 \hat{ i} + 4 \hat{ j})\\ &= \frac{ 18}{ 25} \hat{ i} + \frac{ 24}{ 25} \hat{ j} \end{aligned} [/tex]

Jadi, proyeksi vektor a pada b adalah [tex] \frac{ 18}{ 25} \hat{ i} + \frac{ 24}{ 25} \hat{ j} [/tex].

b) Diketahui:

• [tex] \vec{ a} = \left( \begin{matrix} 4\\ -1\\ -2 \end{matrix} \right) [/tex]
• [tex] \vec{ b} = \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) [/tex]

Ditanyakan:

Proyeksi vektor a pada b.

Jawab:

[tex] \vec{c} &= \left( \frac{ \vec{ a} \cdot \vec{ b}}{| \vec{ b}|^{ 2}} \right) \vec{ b} [/tex]

[tex]= \left( \frac{ 4( 2) + (-1 )3 + (-2) 1}{ (\sqrt{ 2^2 + 3^2 + 1^2 })^2} \right) ~ \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right)[/tex]

[tex]= \left( \frac{ 8 - 3 - 2}{ 4+ 9 + 1} \right) ~ \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right)[/tex]

[tex]= \left( \frac{ 3}{ 14} \right) ~ \left( \begin{matrix} 2\\ 3\\ 1 \end{matrix} \right) [/tex]

[tex] = \left( \begin{matrix} \frac{ 3}{ 7}\\ \frac{ 9}{ 14}\\ \frac{ 3}{ 14} \end{matrix} \right) [/tex]

Jadi, proyeksi vektor a pada b adalah [tex] \left( \begin{matrix} \frac{ 3}{ 7}\\ \frac{ 9}{ 14}\\ \frac{ 3}{ 14} \end{matrix} \right) [/tex].

Pelajari lebih lanjut,

1. Materi tentang menentukan suatu contoh vektor: brainly.co.id/tugas/21434725
2. Materi tentang menentukan resultan dari penjumlahan vektor: brainly.co.id/tugas/26536001  
3. Materi tentang menyatakan vektor posisi dalam suatu variabel: brainly.co.id/tugas/22192333

------------------------------------------

Detail Jawaban

Kelas: 12

Mapel: Matematika

Bab: 4 - Vektor

Kode: 12.2.4

#AyoBelajar