himpunan penyelesaian persamaan 4sin²x-5sinx-2=2cos²x untuk 0

Himpunan penyelesaian persamaan[tex]\displaystyle\rm 4\:sin^{2}\:x-5\:sin\:x-2=2\:cos^{2}\:x[/tex] untuk [tex]\displaystyle\rm 0\leq x\leq 2\pi[/tex] adalah [tex]\displaystyle\rm\left(\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\right)[/tex] Selengkapnya dapat disimak pada pembahasan di bawah ini!

PENDAHULUAN

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus identitas trigonometri dengan mengubah bentuk ruas kanan yaitu fungsi cosinus yang nantinya akan berubah menjadi fungsi sinus.

Trigonometri adalah materi matematika yang berhubungan dengan perbandingan antara sudut dengan sisi pada segitiga.

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri tetapi dengan sudut yang belum diketahui.

Untuk menyelesaikan soal ini kita akan menggunakan rumus berikut, antara lain :

[tex]\displaystyle\blacktriangleright\sf Persamaan\:\sf sin~x = sin~\alpha[/tex]

[tex]\displaystyle\boxed{\boxed{\bf x = \alpha + k\cdot 360^{\circ}}}~\sf atau~\boxed{\boxed{\bf x = (180^{\circ} - \alpha) + k\cdot 360^{\circ}}}[/tex]

[tex]\displaystyle\blacktriangleright\sf Identitas\:trigonometri[/tex]

[tex]\displaystyle\boxed{\boxed{\bf sin^2~x + cos^2~x = 1}}[/tex]

dengan demikian, diperoleh:

[tex]\displaystyle\blacktriangleright\boxed{\boxed{\bf cos^2~x = 1 - sin^2~x}} [/tex]

Kembali ke soal, mari simak penyelesaiannya pada pembahasan di bawah ini!

PEMBAHASAN

Diketahui :

Berdasarkan penjelasan singkat pada pendahuluan di atas, diketahui bahwa:

• [tex]\displaystyle\rm cos^2~x = 1 - sin^2~x[/tex]

Ditanya : himpunan penyelesaian dari [tex]\displaystyle\rm 4\:sin^{2}\:x-5\:sin\:x-2=2\:cos^{2}\:x[/tex] adalah ... ?

Jawab :

[tex]\displaystyle\rm 4~sin^2~x - 5~sin~x - 2 = 2~cos^2~x[/tex]

[tex]\displaystyle\rm 4~sin^2~x - 5~sin~x - 2 = 2(1 - sin^2~x) [/tex]

[tex]\displaystyle\rm 4~sin^2~x - 5~sin~x - 2 = 2 - 2~sin^2~x[/tex]

[tex]\displaystyle\rm 4~sin^2~x + 2~sin^2~x - 5~sin~x - 2 - 2 = 0[/tex]

[tex]\displaystyle\rm 6~sin^2~x - 5~sin~x - 4 = 0 [/tex]

[tex]\displaystyle\sf misalkan: \rm sin\:x = y[/tex]

[tex]\displaystyle\rm 6y^2 - 5y - 4 = 0 [/tex]

[tex]\displaystyle\rm (2y + 1)(3y - 4) = 0 [/tex]

[tex]\displaystyle\rm y = -\dfrac{1}{2}~\vee~y = \dfrac{4}{3}~(TM)[/tex]

Kita cukup gunakan [tex]\displaystyle\rm y = -\dfrac{1}{2}[/tex] karena [tex]\displaystyle\rm y = \dfrac{4}{3}[/tex] tidak memenuhi. Mengapa demikian? karena [tex]\displaystyle\rm sin\:x = \dfrac{4}{3}[/tex] tidak terdefinisi. Sekarang kita kembalikan ke semula.

[tex]\displaystyle\rm sin~x = y [/tex]

[tex]\displaystyle\rm sin~x = -\dfrac{1}{2} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm sin~x = - sin~30^{\circ} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm x = -30^{\circ} + k\cdot 360^{\circ} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm k = 0 \Rightarrow -30^{\circ}~(TM) [/tex]

[tex]\displaystyle\rm k = 1 \Rightarrow 330^{\circ} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm k = 0 \Rightarrow 690^{\circ}~(TM) [/tex]

[tex]\displaystyle\rm sin~x = -\dfrac{1}{2} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm sin~x = sin(180^{\circ} - (-30^{\circ}) )[/tex]

[tex]\displaystyle\rm sin~x = sin~210^{\circ} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm x = 210^{\circ} + k\cdot 360^{\circ} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm k = 0 \Rightarrow 210^{\circ} [/tex]

[tex]\displaystyle\rm k = 0 \Rightarrow 570^{\circ}~(TM) [/tex]

diperoleh: HP = 210° dan 330°

Sekarang kita cocokkan dengan opsi. Karena pada opsi tersebut berbentuk phi “π”, kita konversi dari satuan derajat ke radian.

○ untuk x = 210°

[tex]\displaystyle\rm x = 210^{\circ} \cdot \dfrac{\pi}{180^{\circ}}[/tex]

[tex]\displaystyle\boxed{\rm x = \dfrac{7\pi}{6}}[/tex]

○ untuk x = 330°

[tex]\displaystyle\rm x = 330^{\circ} \cdot \dfrac{\pi}{180^{\circ}}[/tex]

[tex]\displaystyle\boxed{\rm x = \dfrac{11\pi}{6}}[/tex]

[tex]\displaystyle\boxed{\boxed{\rm\therefore HP = \left(\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}\right)}}[/tex]

Kesimpulan : Jadi, berdasarkan langkah-langkah pengerjaan di atas dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian persamaan [tex]\displaystyle\rm 4\:sin^{2}\:x-5\:sin\:x-2=2\:cos^{2}\:x[/tex] adalah HP = [tex]\displaystyle\rm\left(\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\right)[/tex]

PELAJARI LEBIH LANJUT

Materi tentang trigonometri lainnya dapat disimak di bawah ini :

• Nilai dari sin 285° adalah brainly.co.id/tugas/13094128
• Nilai cos 45° + cos 165° + cos 285° adalah brainly.co.id/tugas/11960933
• Buktikan bahwa tan x · sin x + cos x = sec x brainly.co.id/tugas/10514498
• Nilai x yang memenuhi persamaan sin(x + 30°) + cos(x + 30°) = 0 pada interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah brainly.co.id/tugas/11408177
• Buktikan identitas trigonometri (cos x + sin x)(cos – sin x) = 1 – 2 sin² x brainly.co.id/tugas/5091480

____________________________

DETIL JAWABAN

Kelas : XI

Mapel : Matematika Peminatan

Bab : Trigonometri Lanjutan

Kode : 11.2.1

Kata kunci : persamaan trigonometri, identitas trigonometri, pemfaktoran, interval, konversi dari bentuk derajat ke radian